S'il n' y à pas de contrat de travail écrit on considère
votre contrat comme CDI obligatoirement.

Pas d'obligation d'avoir un contrat écrit en CDI
Il n'y a pas d'obligation d'avoir un contrat écrit dans le cadre de relation à durée indéterminée. Cependant, je déconseille cette pratique, dans la mesure où un contrat de travail écrit rappelle les droits et devoirs de chacun. Bien sur, il est toujours possible de se référer à la convention collective et au code du travail, mais le contrat de travail a le mérite de regrouper toutes les dispositions sur un même document, ce qui est plus facile pour chacune des parties. Donc pas d'inquiétude dans votre situation.

contrat de travail tacite
Le fait d'avoir un bulletin de paye confirme que vous avez un contrat de travail.
Mais c'est la porte ouverte aux incompréhensions et quiproquos qui caractérisent malheureusement l'ambiance dans beaucoup d'établissement gérés à l'ancienne sans aucun formalisme.
Donc un conseil : demandez rapidement à avoir un contrat écrit, "l'écrit est serve, la parole est libre", c'est une garantie de rapports normaux entre employeur et employés.
En cas de non réponse, redemandez en LRAR en précisant l'ensemble des taches et missions que vous pensez avoir à accomplir. Cela fera toujours des éléments en cas d'un éventuel et ultérieur conflit.
Un contrat de travail, c'est comme un contrat de mariage : vaut mieux y penser avant d'avoir des soucis !